5.1 พีชคณิตบูลีน (Boolean Algebra)
พีชคณิตบูลีนเป็นคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการอธิบายการทำงานของระบบดิจิทัล โดยตัวแปรจะมีค่าได้เพียงสองค่าเท่านั้น คือ 0 และ 1
- 0 แทนสถานะ ปิด / เท็จ / แรงดันต่ำ (Low)
- 1 แทนสถานะ เปิด / จริง / แรงดันสูง (High)
พีชคณิตบูลีนถูกพัฒนาโดย จอร์จ บูล (George Boole) และถูกนำมาใช้เป็นพื้นฐานของการออกแบบวงจรดิจิทัลในปัจจุบัน
ตัวดำเนินการหลักในพีชคณิตบูลีน ได้แก่
- AND (·)
- OR (+)
- NOT (¯ หรือ ')
ตัวอย่างสมการบูลีน เช่น Y = (A + B) · C
5.2 ตารางค่าความจริง (Truth Table)
ตารางค่าความจริงคือเครื่องมือที่ใช้แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง อินพุต (Input) และ เอาต์พุต (Output) ของสมการลอจิกหรือวงจรลอจิก
หากมีตัวแปรอินพุตจำนวน n ตัว จะมีจำนวนกรณีทั้งหมดเท่ากับ 2ⁿ กรณี
- อินพุต 2 ตัว → 4 กรณี
- อินพุต 3 ตัว → 8 กรณี
ตารางค่าความจริงช่วยให้สามารถตรวจสอบได้ว่าวงจรหรือสมการลอจิกทำงานถูกต้องหรือไม่ในทุกเงื่อนไข
5.3 ลอจิกเกต (Logic Gates)
ลอจิกเกตคืออุปกรณ์พื้นฐานของวงจรดิจิทัล ทำหน้าที่รับอินพุตและให้เอาต์พุตตามกฎของตรรกะ ลอจิกเกตที่สำคัญมีดังนี้
5.4 AND Gate
AND Gate จะให้เอาต์พุตเป็น 1 ก็ต่อเมื่ออินพุตทุกตัวเป็น 1
สมการลอจิก: Y = A · B
การใช้งาน: มักใช้ในระบบที่ต้องการให้หลายเงื่อนไขเป็นจริงพร้อมกัน เช่น ระบบความปลอดภัย
5.5 OR Gate
OR Gate จะให้เอาต์พุตเป็น 1 เมื่อมีอินพุตอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็น 1
สมการลอจิก: Y = A + B
การใช้งาน: ใช้ในระบบแจ้งเตือน เช่น อุณหภูมิสูง หรือ ความดันสูง ระบบจะทำงานทันที
5.6 NOT Gate (Inverter)
NOT Gate ทำหน้าที่กลับค่าลอจิก
- 0 → 1
- 1 → 0
สมการลอจิก: Y = Ā
5.7 NAND Gate
NAND Gate คือ AND Gate ที่ผ่านการกลับค่า (NOT) จะให้เอาต์พุตเป็น 0 เพียงกรณีเดียว คือเมื่ออินพุตทุกตัวเป็น 1
สมการลอจิก: Y = (A · B)̄
ข้อดี: เป็นเกตที่นิยมใช้มาก เพราะสามารถนำมาสร้างเกตชนิดอื่นได้ทั้งหมด
5.8 NOR Gate
NOR Gate คือ OR Gate ที่ผ่านการกลับค่า จะให้เอาต์พุตเป็น 1 เมื่ออินพุตทุกตัวเป็น 0
สมการลอจิก: Y = (A + B)̄
5.9 XOR Gate (Exclusive OR)
XOR Gate จะให้เอาต์พุตเป็น 1 เมื่ออินพุตแตกต่างกัน
สมการลอจิก: Y = A ⊕ B
การใช้งาน: นิยมใช้ในวงจรเปรียบเทียบและวงจรคำนวณ
5.10 XNOR Gate
XNOR Gate เป็นการกลับค่าของ XOR จะให้เอาต์พุตเป็น 1 เมื่ออินพุตเหมือนกัน
5.11 ความสัมพันธ์ระหว่างวงจรลอจิก สมการบูลีน และตารางค่าความจริง
การออกแบบวงจรดิจิทัลเกี่ยวข้องกับ 3 ส่วนสำคัญ ได้แก่
- วงจรลอจิก
- สมการพีชคณิตบูลีน
- ตารางค่าความจริง
หากทราบข้อมูลอย่างใดอย่างหนึ่ง จะต้องสามารถหาที่เหลือได้ เช่น
- ทราบสมการ → เขียนวงจรและตารางค่าความจริงได้
- ทราบวงจร → เขียนสมการและตารางค่าความจริงได้
5.12 กฎพื้นฐานของพีชคณิตบูลีน
กฎของพีชคณิตบูลีนช่วยให้สามารถลดรูปสมการเพื่อให้วงจรมีขนาดเล็กลง ประหยัดอุปกรณ์ และทำงานได้รวดเร็วขึ้น ตัวอย่างกฎที่สำคัญ เช่น
- A + A = A
- A · A = A
- A + Ā = 1
- A · Ā = 0
รวมถึง ทฤษฎีของเดอมอร์แกน (De Morgan's Theorem) ซึ่งใช้แปลงรูปสมการและช่วยออกแบบวงจรด้วย NAND หรือ NOR Gate เพียงชนิดเดียว
5.13 ความสำคัญของวงจรลอจิกในระบบดิจิทัล
วงจรลอจิกถูกนำไปใช้ในหลายด้าน เช่น
- คอมพิวเตอร์และไมโครโปรเซสเซอร์
- ระบบควบคุมอัตโนมัติ
- อุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์
- ระบบดิจิทัลในอุตสาหกรรม
การเข้าใจหลักการของลอจิกเกตและพีชคณิตบูลีนจึงเป็นพื้นฐานสำคัญสำหรับผู้ที่ศึกษาด้านคอมพิวเตอร์ วิศวกรรม และเทคโนโลยีสารสนเทศ